高中数学解题中化归思想的有效运用

化归思想是转化与归结的简称，指的是将一个问题化难为易、化繁为简，化复杂为简单的过程，既是一种关键的解题思想，又是一种常规的思维策略，更是一种特殊的数学解题方式.在高中数学教学中，随着知识难度与深度的提升，解题也是越来越困难，教师可指导学生在解题中有效运用化归思想，使其把具体问题作精细化处理，增强个人逻辑思维能力.

多元问题少元化

在高中数学课程教学中，解题是一大难点，究其原因主要在于初、高中数学知识之间跨度较大，部分学生的思维与认知难以跟上正常的教学进度，导致他们在解题中困难重重.其中高中生在处理数学问题时，通常会遇到含有多个未知数的问题，即多元化，他们通常不知所措，这时教师可以引领学生采用化归思想，将多元问题少元化，降低解题难度.

例1：如果a＞0，x，y，z∈R，x+y+z=a，x2+y2+z2=a2，那么x，y，z的取值范围分别是什么？

解析：题目中存在三个变量x，y，z，给出的条件是两个方程，左边是有关x，y，z的对称式，把两个式子结合在一起能够消元.例如，可以消去变量z，得到x2+y2+（a－x－y）2=a2，将一个三元方程转化成二元方程.

解答：教师提示学生把这个函数关系式中的变量x当成常量来看待，就会得到一个关于y的方程式，即y2+（x－a）y+（x2－ax）=0，这个方程存在实根，所以Δ=（x－a）2－4（x2－ax）≥0，化简后得到3x2－2ax－a2≤0；再把x看成变量，这个式子就成了一个关于x的不等式，解之得－≤x≤a.采用同样的方法可以得到－≤y≤a，－≤z≤a.

上述案例，学生通过对化归思想的有效运用，将“三元”顺利变化成“二元”，达到多元问题少元化、烦琐问题简易化的目的，使其灵活转变审题角度，最终解决掉难题.

代数问题图形化

代数问题图形化其实就是数与形之间的转化，数学研究对象可分为数与形两大部分，两者密切联系、相互转化.在高中数学教学中，方程与函数之间有着紧密联系，能够相互转化，函数和图像又密切相连，教师可以指导学生运用化归思想，将方程等代数转化成函数图像的方式进行研究，达到以数辅形、以形助数的目的，使其灵活运用数形结合思想解题.

例2：已知方程cos2x+4asinx+a－2=0在区间［0，π］上存在两个不同的解，求实数a的取值范围.

解析：把cos2x变成sinx的形式，原方程就成为一个关于sinx与a两者之间的函数表达式.

解答：把原式变成2sin2x－4asinx－a+1=0，设sinx=t，当x∈［0，π］时，t∈［0，1］，原方程变成2t2－4at－a+1=0.根据函数y=t与y=sinx的图像得知，（0，1）内的一个t值对应于（0，π）内的两个x值.结合题意得关于t的方程f（t）=2t2-4at-a+1=0在（0，1）上有唯一解或t=0.然后分类讨论：若f（0）f（1）=（1－a）（3－5a）＜0，则；若Δ=16a2－8（1－a）=0，0＜a＜1，则；若t=0，根据变形后的式子得出a=1.综上分析，a的取值范围是

在上述案例中，有效运用化归思想把一个方程问题变成函数问题，再利用函数图像来分析和解题，显得更为直观与方便，体现出了数形结合思想，让学生的思路变得更加清晰.

一般问题特殊化

高中生在研究数学问题时，通常以特殊状态为切入点，探索知识的一般规律，再结合一般规律研究特殊情况，由于特殊问题显得更为直观与简单，有利于他们理解与接受.解答高中数学题目比较注重灵活性，假如一直采用循规蹈矩的方法分析和运算，将会耗费更多精力与时间，教师可指导学生运用化归思想，将一般问题变得特殊化，提高他们的解题效率.

例3：已知an=n－4，n≤6；an=2n-5，n≥7，求所有的正整数m让等式am+am+1+am+2=am·am+1·am+2成立.

解答：教师提示学生列出数列｛an｝的前几项：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，….他们通过观察轻松发现从第5项开始，连续3项的和同积相比，和均会小很多，那么让等式am+am+1+am+2=am·am+1·am+2成立的m值只能是整数1，2，3，4，经过计算得到m=1或m=3.接下来需证明当m≥5时，am+am+1+am+2＜am·am+1·am+2：当m≥5时，am·am+1·am+2－（am+am+1+am+2）=2m-5×2m-4×2m-3－（2m-5+2m-4+2m-3）=2m-5（22m-7－7）.由于m≥5，所以（22m-7－7）≥0.综上分析，m=1或m=3.

针对上述案例，通过有效运用化归思想分析题目，即对一般问题的特殊化处理，使学生选择一个恰当角度通过一般情况研究问题的特殊情况，让他们获得事半功倍的学习效果.

抽象问题具体化

大部分高中数学问题都比较抽象，对学生的思维能力与认知水平要求较高，他们难以透彻理解题目意思，不利于接下来的正常解题，还容易出错.对此，高中数学教师在日常解题教学中可以引导学生有效运用化归思想，将抽象问题处理得具体化和直观化，降低理解难度，使学生快速掌握题目中的条件及相互关系，帮助他们优化解题思路，提高正确率.

文章来源：《思想理论教育导刊》 网址: http://www.sxlljydkzzs.cn/qikandaodu/2021/0118/453.html